Некоторые сведения из теории множеств

Прежде чем строго заняться логикой, познакомимся с языком множеств — на нём удобно говорить о наборах объектов и их пересечениях.

Чему ты научишься. выполнять операции над множествами и считать мощность объединения по формуле включений-исключений.

Множества и операции

Множество — набор различных объектов (элементов). Множество без элементов — пустое. Над множествами определены операции:

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ (круги Эйлера):
  A ∩ B  пересечение — элементы, входящие И в A, И в B
  A ∪ B  объединение — элементы, входящие в A ИЛИ в B
  дополнение A       — всё, что НЕ входит в A

Мощность и формула включений-исключений

Мощность множества — количество его элементов (|A|). Чтобы посчитать мощность объединения, применяют формулу включений-исключений:

ФОРМУЛА ВКЛЮЧЕНИЙ-ИСКЛЮЧЕНИЙ:
   |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
   (общие элементы посчитали дважды — один раз вычитаем)

Контрольный вопрос. Операция, дающая элементы, входящие И в A, И в B, называется…

Апересечение

Бобъединение

Вдополнение

Подсказка: Общие элементы.

Онлайн-проверка ответа появится позже

Контрольный вопрос. Количество элементов множества называется его…

Амощность

Ббазис

Подсказка: Обозначают |A|.

Онлайн-проверка ответа появится позже

Контрольный вопрос. Набор различных объектов называется одним словом. Впиши его.

Подсказка: Про это весь урок.

Онлайн-проверка ответа появится позже

Контрольный вопрос. Множество без единого элемента называется…

Апустым

Бполным

Вединичным

Подсказка: В нём нечего перечислять.

Онлайн-проверка ответа появится позже

Контрольный вопрос. Операция, дающая элементы, входящие в A ИЛИ в B, называется… Впиши слово.

Подсказка: Всё, что есть хотя бы в одном из двух множеств.

Онлайн-проверка ответа появится позже

Контрольный вопрос. Операция, дающая все элементы, которые НЕ входят в A, называется…

Адополнением

Бпересечением

Вмощностью

Подсказка: «Всё остальное».

Онлайн-проверка ответа появится позже

Задание. В классе 20 человек ходят на футбол, 15 на шахматы, 8 — и туда, и туда. Сколько человек ходят хотя бы на один кружок? Используй |A|+|B|−|A∩B|. Впиши число.

Подсказка: 20 + 15 − 8.

✅ Готово, если: ты ввёл(а) верный ответ, и онлайн-проверка его приняла.

Онлайн-проверка ответа появится позже

Контрольный вопрос. В классе 25 человек изучают английский, 10 — китайский, 5 изучают оба языка. Сколько человек изучают хотя бы один язык? |A|+|B|−|A∩B|. Впиши число.

Подсказка: 25 + 10 − 5.

Онлайн-проверка ответа появится позже

Контрольный вопрос. В формуле |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B| зачем вычитают |A∩B|?

Аэлементы пересечения посчитали дважды (в |A| и в |B|), поэтому один раз их убирают

Бчтобы результат гарантированно был меньше

Впересечение вообще не нужно учитывать в этой формуле

Подсказка: Каждый элемент из A∩B попал и в |A|, и в |B|.

Онлайн-проверка ответа появится позже

Задание. В твоём классе есть ученики, которые ходят на кружок робототехники (множество A) и ученики, которые ходят на кружок рисования (множество B).
1) Придумай свои числа: сколько человек в A, сколько в B, сколько ходят на ОБА кружка (A∩B).
2) По формуле включений-исключений посчитай, сколько человек ходят хотя бы на один из двух кружков.
3) Опиши (текстом, по образцу кругов Эйлера) эти два множества и покажи область пересечения — укажи, сколько элементов только в A, только в B и в обоих сразу.

Подсказка: «Только A» = |A| − |A∩B|; «только B» = |B| − |A∩B|; «оба» = |A∩B|.

Онлайн-проверка ответа появится позже

Итог. Множество — это набор различных элементов, над множествами определены операции. Мощность — число элементов; чтобы посчитать мощность объединения, применяют формулу включений-исключений.

Что дальше

Язык множеств тесно связан с логикой. Об алгебре логики строго — следующий урок.

← Назад  ·  ↑ В начало урока  ·  ⌂ В начало курса  ·  Вперёд →