В тетради после первых двух занятий появляются две новые стрелки: ¬A → B и x ≡ y. В школе их не было, а в колледже они идут сразу, без разгона. Разберём обе так, чтобы считать их не задумываясь.
Чему научишься. После урока сможешь: вычислить импликацию и эквиваленцию при любых значениях переменных; записать и прочитать все пять операций в колледжных обозначениях ¬ ∧ ∨ → ≡; посчитать сложное выражение по приоритету операций.
Вспомни. Три первые операции (НЕ, И, ИЛИ) и их приоритет разобраны в уроке «Логические операции и выражения». Это школьная база, которую в колледже считают известной и не повторяют, поэтому и непонятно. Если таблицы НЕ, И, ИЛИ ещё не отскакивают от зубов, сначала туда: 7 минут, и вы с группой на равных.
Как это пишут в колледже
Школьные слова НЕ, И, ИЛИ в колледже заменяют значками. Это те же операции, просто короче. Плюс два новых.
ПЯТЬ ОПЕРАЦИЙ И ИХ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Значок │ Как читают │ Другие записи │ Школьное слово
─────────┼─────────────────────┼────────────────────┼───────────────
¬A │ отрицание, «не A» │ Ā (черта сверху) │ НЕ
A ∧ B │ конъюнкция, «A и B» │ A·B A&B │ И
A ∨ B │ дизъюнкция, «A или B»│ A+B │ ИЛИ
A → B │ импликация, │ A ⊃ B │ «если A, то B»
│ «из A следует B» │ │
A ≡ B │ эквиваленция, │ A ↔ B A ~ B │ «A тогда и
│ «A равносильно B» │ │ только тогда, когда B»
Черта над буквой и значок ¬ означают одно и то же. Смотри на длину черты: черта над одной буквой — это ¬A, черта над целым куском A → B — это ¬(A → B): сначала считаем стрелку, потом отрицание всего результата.
Не путай два похожих знака. A ≡ B — операция: стоит внутри выражения и даёт 0 или 1. Знак = между двумя целыми выражениями, как в тетради ¬A ∧ ¬B = ¬(A ∨ B), значит другое: «эти выражения дают одинаковый столбец F при всех наборах». Как это проверить таблицей, разберём в уроке 1.2.
Импликация: обещание, которое можно нарушить только одним способом
Представь обещание: «Если сдашь зачёт (A), то куплю тебе билет на концерт (B)». Когда это обещание нарушено? Только в одном случае: зачёт сдан, а билета нет. Во всех остальных случаях обещание в силе. Не сдал и не купил: обещание не нарушено, оно просто не сработало. Не сдал, а билет всё равно купил: тем более не нарушено, никто не обещал не покупать.
Это и есть импликация A → B: она ложна ровно в одном случае, когда A = 1, а B = 0. В трёх остальных строках стоит 1.
ИМПЛИКАЦИЯ A → B («если A, то B») A │ B │ A → B │ что это значит ───┼───┼───────┼────────────────────────────── 0 │ 0 │ 1 │ не сдал, не купил — не нарушено 0 │ 1 │ 1 │ не сдал, но купил — не нарушено 1 │ 0 │ 0 │ СДАЛ, А НЕ КУПИЛ — нарушено! 1 │ 1 │ 1 │ сдал и купил — выполнено Запомнить: ноль только в строке 1 → 0. Если слева 0 — справа может быть что угодно, результат 1.
Отсюда странное на первый взгляд правило: из лжи следует что угодно. Если A = 0, то A → B равно 1 при любом B. Многих это сбивает, но посмотри на таблицу: две верхние строки, обе единицы.
Второе, на чём ловят: импликация несимметрична. A → B и B → A не одно и то же. «Если идёт дождь, то асфальт мокрый» верно; «если асфальт мокрый, то идёт дождь» неверно: его могла полить машина.
Эквиваленция: одинаковые или нет
Эквиваленция A ≡ B проще: она равна 1, когда A и B одинаковые (оба 0 или оба 1), и 0, когда разные. Как два выключателя в коридоре: свет горит, только если они в одном положении.
ЭКВИВАЛЕНЦИЯ A ≡ B («A тогда и только тогда, когда B») A │ B │ A ≡ B ───┼───┼─────── 0 │ 0 │ 1 одинаковые → 1 0 │ 1 │ 0 разные → 0 1 │ 0 │ 0 разные → 0 1 │ 1 │ 1 одинаковые → 1 Сравни с импликацией: у → ноль в ОДНОЙ строке (1 → 0), у ≡ нули в ДВУХ строках (там, где значения не совпали).
Сравни столбцы двух таблиц. Они совпадают в трёх строках и расходятся в одной: 0 → 1 даёт 1, а 0 ≡ 1 даёт 0. Именно эту строку и проверяют на контрольных.
Приоритет: в каком порядке считать
В арифметике сначала умножение, потом сложение. В логике лестница из пяти ступеней. Скобки, как всегда, ломают порядок: что в скобках, считается первым.
ЛЕСТНИЦА ПРИОРИТЕТОВ (сверху — считаем первым) 1. ¬ отрицание (как минус у числа) 2. ∧ конъюнкция (как умножение) 3. ∨ дизъюнкция (как сложение) 4. → импликация 5. ≡ эквиваленция (считаем последней) Скобки ( ) — раньше всего.
Разбор из тетради: ¬A → B при A = 1, B = 0. Шаг 1: отрицание, оно выше, ¬A = ¬1 = 0. Шаг 2: импликация 0 → 0. Слева ноль, значит результат 1. Ответ: 1. Если бы кто-то посчитал сначала A → B = 1 → 0 = 0, а потом взял отрицание, получил бы ¬0 = 1. Здесь ответ случайно совпал, но в других наборах порядок меняет результат, поэтому лестница обязательна.
Ещё один разбор, из четвёртой страницы конспекта: (x ≡ y) ∨ ((y ∨ z) → x) при x = 1, y = 1, z = 0. Скобки первыми: x ≡ y = 1 ≡ 1 = 1; y ∨ z = 1 ∨ 0 = 1. Теперь импликация внутри второй скобки: 1 → x = 1 → 1 = 1. Осталась дизъюнкция: 1 ∨ 1 = 1. Ответ: 1.
ПО ШАГАМ: (x ≡ y) ∨ ((y ∨ z) → x), x=1 y=1 z=0 шаг 1 x ≡ y = 1 ≡ 1 = 1 шаг 2 y ∨ z = 1 ∨ 0 = 1 шаг 3 (шаг2) → x = 1 → 1 = 1 шаг 4 (шаг1) ∨ (шаг3) = 1 ∨ 1 = 1 ← ответ
Контрольный вопрос. Чему равна импликация 1 → 0? Впиши 1 или 0.
Подсказка: Это единственная строка таблицы импликации, где обещание нарушено.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Контрольный вопрос. Чему равна эквиваленция 0 ≡ 0? Впиши 1 или 0.
Подсказка: Эквиваленция смотрит, одинаковые ли значения слева и справа.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Контрольный вопрос. При каком наборе значений импликация A → B ложна?
Подсказка: Обещание нарушено, когда условие выполнено, а обещанное не сделано.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Контрольный вопрос. Чему равна импликация 0 → 1? Впиши 1 или 0.
Подсказка: Посмотри, что слева от стрелки. Из лжи следует что угодно.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Контрольный вопрос. Как называется логическая операция, которую читают «A тогда и только тогда, когда B» и обозначают A ≡ B? Впиши одно слово.
Подсказка: Название начинается на «экви-», по-латински это «равно».
Онлайн-проверка ответа появится позже
Контрольный вопрос. В выражении A ∨ B → C нет скобок. Какая операция выполняется первой?
Подсказка: Посмотри на лестницу приоритетов: какая из двух ступеней выше?
Онлайн-проверка ответа появится позже
Контрольный вопрос. Дано: A = 1, B = 0. Вычисли ¬A → B. Впиши 1 или 0.
Подсказка: Сначала отрицание, оно выше по лестнице. Потом смотри, что стоит слева от стрелки.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Контрольный вопрос. Дано: A = 0, B = 1, C = 1. Вычисли (A ≡ B) ∨ C. Впиши 1 или 0.
Подсказка: Скобка первой: одинаковые ли A и B? Потом дизъюнкция с C.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Контрольный вопрос. Дано: A = 1, B = 1, C = 0. Вычисли A ∧ B → C без скобок, строго по приоритету. Впиши 1 или 0.
Подсказка: Конъюнкция выше импликации, поэтому сначала A ∧ B, и только потом стрелка к C.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Задание. Вычисли выражение из конспекта при x = 1, y = 0, z = 0. Запиши на бумаге четыре шага в порядке приоритета (две скобки, импликация, дизъюнкция) и впиши итоговое значение: 1 или 0.
Принято, если: (1) итог совпал; (2) на бумаге четыре шага в правильном порядке: скобки, затем стрелка, затем ∨; (3) у каждого шага записано промежуточное значение.(x ≡ y) ∨ ((y ∨ z) → x) x = 1, y = 0, z = 0Подсказка: Начни с двух скобок по отдельности: x ≡ y и y ∨ z. Потом импликация из второй скобки в x. Последней идёт дизъюнкция.
✅ Готово, если: ответ раскрывает то, что просит критерий приёмки в задании выше.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Итог. Импликация A → B ложна только при A = 1, B = 0; если слева 0, результат 1. Эквиваленция A ≡ B равна 1, когда значения одинаковые. Считаем по лестнице: ¬, затем ∧, затем ∨, затем →, последней ≡; скобки раньше всего.
Что дальше
Одно значение посчитать несложно. На контрольной просят всю таблицу: 8 строк, промежуточные столбцы П1, П2, П3 и итоговый F. Как не запутаться в столбцах, расскажет следующий урок.
