Задание 11 ЕГЭ по информатике. Вычисление объема информации

Разбираем, как оценить количество информации в сообщении, найти мощность алфавита, рассчитать количество бит и байт, а также применить формулы Шеннона для вероятностных событий.

Содержание

Теоретический блок

Что проверяется

Умение вычислять информационный объём сообщения.
Понимание дискретного (цифрового) представления текстовой, графической и звуковой информации.
Умение переводить биты → байты → килобайты → мегабайты.
Умение использовать формулы для оценки памяти и количества информации.

Основные формулы и понятия

Количество возможных вариантов при двоичном кодировании:
```
Q = 2^K
```
где K — число бит, Q — количество вариантов.
Информационный объём:
```
I = N × K
```
где N — число символов, K — число бит на символ.
Мощность алфавита — количество символов в нём:
```
M = 2^K
```
(или наоборот K = log₂(M) — сколько бит нужно для кодирования одного символа).

Соотношения между единицами:

1 байт = 8 бит
1 Кбайт = 1024 байта = 2¹⁰ байт
1 Мбайт = 1024 Кбайта = 2²⁰ байт

Формула Шеннона для сообщений с вероятностями:
```
I = −log₂(p)
```
где p — вероятность события.

Разбор заданий

Задание 1. Пароли из 12-символьного набора

При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 15 символов и содержащий только символы из 12-символьного набора: А, В, C, D, Е, F, G, H, К, L, M, N. В базе данных для хранения сведений о каждом пользователе отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт.
При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируют одинаковым и минимально возможным количеством бит.
Кроме собственно пароля, для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего отведено 12 байт на одного пользователя.
Определите объём памяти (в байтах), необходимый для хранения сведений о 50 пользователях. В ответе запишите только целое число — количество байт.

Определяем число бит на символ: 2³ < 12 < 2⁴ → 4 бита.

15 символов → 60 бит = 8 байт.
Добавляем 12 байт доп. данных → (8+12)×50 = 1000 байт.

Задание 2. Сложный пароль (цифры + буквы + спецсимволы)

При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 9 символов.
Из соображений информационной безопасности каждый пароль должен содержать хотя бы 1 десятичную цифру, как прописные, так и строчные латинские буквы (в латинском алфавите 26 букв), а также не менее 1 символа из 6-символьного набора: «&», «#», «$», «*», «!», «@».
В базе данных для хранения сведений о каждом пользователе отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт.
При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируют одинаковым и минимально возможным количеством бит.
Кроме собственно пароля, для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего выделено целое число байт; это число одно и то же для всех пользователей.
Для хранения сведений о 20 пользователях потребовалось 500 байт. Сколько байт выделено для хранения дополнительных сведений об одном пользователе? В ответе запишите только целое число – количество байт.
Примечание. В латинском алфавите 26 букв.

Символов 68 → 2⁶ < 68 < 2⁷ → 7 бит.

9×7=63 бит = 8 байт.
25 байт всего на пользователя → 25−8= 17 байт служебных.

Задание 3. Электронный пропуск

Каждый сотрудник предприятия получает электронный пропуск, на котором записаны личный код сотрудника, номер подразделения и некоторая дополнительная информация.
Личный код состоит из 13 символов, каждый из которых может быть одной из 26 заглавных латинских букв.
Для записи кода на пропуске отведено минимально возможное целое число байт, при этом используют посимвольное кодирование, все символы кодируют одинаковым минимально возможным количеством бит.
Номер подразделения — целое число от 1 до 180, он записан на пропуске как двоичное число и занимает минимально возможное целое число байт.
Всего на пропуске хранится 32 байта данных. Сколько байт выделено для хранения дополнительных сведений о сотруднике?
В ответе запишите только целое число — количество байт.

13 символов по 5 бит → 65 бит → 9 байт.
Номер подразделения: 2⁷<180<2⁸ → 1 байт.
Всего 32−(9+1)= 22 байта дополнительных данных.

Задание 4. Двухкомпонентный код объекта

Каждый объект, зарегистрированный в информационной системе, получает уникальный код, состоящий из двух частей.
Первая часть определяет категорию объекта и состоит из 5 символов, каждый из которых может быть одной из 26 заглавных латинских букв.
Вторая часть кода определяет уникальный идентификатор объекта и состоит из 9 символов, каждый из которых может быть латинской буквой (строчной или заглавной) или одной из 9 цифр (цифра 0 не используется).
Для представления кода используют посимвольное кодирование, все символы в пределах одной части кода кодируют одинаковым минимально возможным для данной части количеством битов, а для кода в целом выделяется минимально возможное целое количество байтов.
Кроме того, для каждого объекта в системе выделено 120 байт для хранения содержательной информации.
Сколько байтов потребуется для хранения данных (код и содержательная информация) о 20 объектах? В ответе запишите только целое число — количество байтов.

Первая часть: 5 символов из 26 букв → 5×5=25 бит
Вторая часть: 9 символов (61 вариант) → 9×6=54 бит
Всего 79 бит → 10 байт.
(120+10)×20 = 2600 байт

Задание 5. Идентификаторы по 101 символу

При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдается идентификатор из 101 символа, каждый из которых может быть десятичной цифрой или одним из 4090 символов из специального набора.
Каждый символ кодируется с помощью одинакового и минимального количества бит.
Идентификатор же записывается в памяти с помощью минимально возможного целого количества байт.
Сколько килобайт потребуется для хранения идентификаторов 2048 пользователей?

4100 символов → 2¹²<4100<2¹³ → 13 бит
→ 101×13=1313 бит = 165 байт.
165×2048 = ≈330 Кбайт.

Задание 6. Большие числа и степени двойки

Объем сообщения, содержащего 4096 символов, равен 1/512 части Мбайта.
Какова мощность алфавита, с помощью которого записано это сообщение?

4096 символов → 2¹²;
1/512 Мбайта = 2²³/2⁹ = 2¹⁴ бит = 16384 бит.
На символ 2²=4 бита → алфавит из 16 символов.

Контрольные вопросы и мини-задания

🧠 Вопросы по теории

Что означает формула I = N × K и как её применять?
Сколько бит в одном байте и сколько байт в одном килобайте?
Как найти минимальное количество бит, необходимое для кодирования 100 символов?
Что такое мощность алфавита и как она связана с числом бит?
Как перевести 1/8 Мбайта в биты?
Какая формула используется для определения количества информации при вероятностных событиях?
Почему для посимвольного кодирования выбирают ближайшее большее число бит, кратное 8?
Как определить, во сколько раз увеличится информационный объём при удвоении числа символов?
Что означает запись 2⁷<M<2⁸ и как она используется?
Какие типичные ошибки совершают при переводе Кбайт в байты?

🧩 Мини-задания

В алфавите 32 символа. Сколько бит нужно для кодирования одного символа?
Сообщение содержит 250 символов, каждый кодируется 6 битами. Найдите объём в байтах.
Алфавит из 8 символов. Сколько различных слов длиной 4 можно составить?
Сообщение передаётся со скоростью 256 бит/с. Сколько байт передастся за 10 секунд?
Определите мощность алфавита, если для кодирования символа требуется 3 бита.
Сколько килобайт займёт текст из 2048 символов при 8 бит/символ?
Вероятность события 1/4. Сколько бит информации содержит сообщение о его наступлении?
Определите количество символов в сообщении объёмом 4 Кбайта, если используется 2 байта на символ.
Найдите число байт, необходимое для хранения пароля из 10 символов 20-символьного алфавита.
В тексте 4096 символов. Каждый кодируется 16 битами. Сколько Мбайт займёт текст?

Совет: при решении задач всегда проверяйте, в каких единицах требуется ответ — в битах, байтах или килобайтах, и округляйте вверх при необходимости.