Тип 1 демо-теста. «За круглым столом рассажены четыре человека. Сколько информации несёт сообщение об их рассадке?» Ответ просят в битах, интервалом: «больше 4 и меньше 5 бит». Разберём, откуда берётся такой ответ, и потренируемся.
Что значит «количество информации»
Пока мы не знаем исхода, у события есть неопределённость: вариантов много, какой из них верный — неизвестно. Сообщение снимает эту неопределённость: после него мы точно знаем, что случилось. Количество информации — это мера того, насколько сообщение уменьшило нашу неизвестность. Чем больше равновозможных вариантов оно отсекло, тем больше информации несёт.
Договоримся о простом случае, который и спрашивают на испытании: есть N равновозможных исходов (ни один не вероятнее другого), и сообщение указывает ровно один из них. Тогда количество информации в этом сообщении считают по формуле Хартли.
ФОРМУЛА ХАРТЛИ
I = log₂ N (I — в битах)
N — число равновозможных исходов
I — количество информации в сообщении,
которое называет один конкретный исход
Смысл: сколько раз надо вдвое сузить круг
вариантов, чтобы остался один.
Логарифм по основанию 2 отвечает на вопрос: «в какую степень возвести 2, чтобы получить N?». Если N — точная степень двойки, ответ целый: для N = 8 это 3 бита, потому что 2³ = 8. Если N между двумя степенями двойки, то и ответ между двумя целыми — его и записывают интервалом.
N | I = log₂N | ответ в битах ─────┼─────────────┼──────────────────────── 2 | 1,00 | ровно 1 4 | 2,00 | ровно 2 6 | 2,58 | больше 2 и меньше 3 8 | 3,00 | ровно 3 12 | 3,58 | больше 3 и меньше 4 16 | 4,00 | ровно 4 24 | 4,58 | больше 4 и меньше 5 32 | 5,00 | ровно 5 Правило интервала: если 2^k < N < 2^(k+1), то k < I < k+1 (ответ между k и k+1 бит).
Как считают N в задачах про рассадку
В демо-задаче люди садятся за стол — значит, сначала надо посчитать, сколькими способами их вообще можно рассадить. Когда мы расставляем несколько разных объектов по разным местам, число способов — это факториал: перемножаем количество мест по убыванию. Для 4 человек на 4 пронумерованных места: на первое место — любой из 4, на второе — любой из оставшихся 3, дальше 2 и 1.
4 человека на 4 пронумерованных места
место 1 место 2 место 3 место 4
4 × 3 × 2 × 1 = 24
4! = 4·3·2·1 = 24 равновозможные рассадки
┌───────── стол ─────────┐
│ (1) (2) │
│ │
│ (4) (3) │
└────────────────────────┘
Сообщение, называющее одну рассадку из 24,
несёт I = log₂24 ≈ 4,58 → больше 4 и меньше 5 бит.
Порядок решения такого задания:
1) посчитай число равновозможных исходов N (для рассадки — факториал: 3!=6, 4!=24, 5!=120);
2) подставь в формулу Хартли: I = log₂N;
3) если N — не степень двойки, зажми ответ между двумя ближайшими целыми и запиши интервалом.
Тренировка
Контрольный вопрос. За круглым столом четыре пронумерованных места. За них случайно садятся Аня, Боря, Вера и Гена — все рассадки равновозможны. Пришло сообщение, которое точно называет, кто на каком месте сидит. Сколько информации несёт это сообщение?
Подсказка: Число рассадок N = 4! = 4·3·2·1 = 24. По формуле Хартли I = log₂24. Ближайшие степени двойки: 16 = 2⁴ и 32 = 2⁵, а 16 < 24 < 32, значит 4 < I < 5.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Контрольный вопрос. На полку в ряд ставят три разные книги. Все варианты порядка равновозможны. Сообщение точно называет получившийся порядок книг слева направо. Сколько информации оно несёт?
Подсказка: Число порядков N = 3! = 6. I = log₂6. Ближайшие степени двойки: 4 = 2² и 8 = 2³, а 4 < 6 < 8, значит 2 < I < 3.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Контрольный вопрос. В соревновании 12 спортсменов, у каждого равные шансы вытянуть жребий на первый старт. Сообщение называет имя того, кто стартует первым. Сколько информации несёт это сообщение?
Подсказка: Здесь равновозможных исходов ровно N = 12 (не факториал — выбираем одного из 12). I = log₂12. Ближайшие степени двойки: 8 = 2³ и 16 = 2⁴, а 8 < 12 < 16, значит 3 < I < 4.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Запомни для этого типа.
— Количество информации о выборе одного из N равновозможных исходов: I = log₂N бит.
— N — не степень двойки → ответ интервалом: находишь ближайшие 2^k и 2^(k+1), и k < I < k+1.
— «Рассадка / порядок / расстановка» разных объектов по местам → N = факториал (3! = 6, 4! = 24, 5! = 120).
— «Выбрать одного из N» → N берётся напрямую.
