Тип 2 демо-теста. «Значение выражения 100₃ + 100₄ + 100₅ …» и просят выбрать интервал в шестнадцатеричной системе: «больше 26₁₆ и меньше 40₁₆». Индекс справа снизу — это основание системы. Научимся читать такую запись, считать и сравнивать.
Основание и разряды
В позиционной системе счисления значение цифры зависит от её места — разряда. Основание системы — это сколько разных цифр в ней используется и во сколько раз каждый следующий разряд «дороже» предыдущего. В привычной десятичной системе основание 10: разряды идут как единицы, десятки, сотни (1, 10, 100). В записи теста основание пишут маленьким индексом справа: 13₁₆ — число записано в шестнадцатеричной системе, 100₃ — в троичной.
Чтобы узнать обычное (десятичное) значение числа, каждую цифру умножают на основание в степени её разряда и складывают. Разряды считают справа налево, начиная с нулевого.
Число 100 в системе с основанием b:
1 0 0
│ │ └─ разряд 0: 0 · b⁰ = 0
│ └─────── разряд 1: 0 · b¹ = 0
└───────────── разряд 2: 1 · b² = b²
100_b = b² (единица в третьем разряде = основание в квадрате)
Отсюда быстрые формулы для теста:
100_b = b² 10_b = b 11_b = b + 1
Примеры:
100₃ = 3² = 9 100₄ = 4² = 16 100₅ = 5² = 25
10₅ = 5 11₄ = 4 + 1 = 5
Значит, демо-выражение 100₃ + 100₄ + 100₅ = 9 + 16 + 25 = 50 в обычной десятичной записи. Осталось сравнить 50 с границами, которые в тесте даны в шестнадцатеричной системе.
Шестнадцатеричная система и перевод в неё
В шестнадцатеричной системе основание 16, поэтому цифр не хватает — после 9 идут буквы: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Чтобы перевести десятичное число в шестнадцатеричное, его делят на 16 с остатком: остаток даёт младшую цифру, целая часть делится дальше. Для чисел до 255 хватает двух разрядов: старший — сколько целых шестнадцаток, младший — остаток.
Перевод десятичного в 16-ричное (число < 256):
50 : 16 = 3, остаток 2 → 50 = 32₁₆
└ старшая цифра └ младшая цифра
Проверка: 3·16 + 2 = 50. ✔
Полезная таблица границ (16-ричное → десятичное):
10₁₆ = 16 13₁₆ = 19 16₁₆ = 22
19₁₆ = 25 26₁₆ = 38 40₁₆ = 64
Демо: 50 больше 38 (26₁₆) и меньше 64 (40₁₆)
→ ответ «больше 26₁₆ и меньше 40₁₆». ✔
Порядок решения такого задания:
1) переведи каждое слагаемое в десятичную (помни: 100_b = b², 10_b = b, 11_b = b+1);
2) сложи и получи обычное десятичное число;
3) переведи границы-варианты из 16-ричной в десятичную (или число — в 16-ричную) и выбери, между какими границами оно лежит.
Тренировка
Контрольный вопрос. Вычисли значение выражения 100₂ + 100₃ + 100₄ и определи, в каком промежутке оно лежит (границы даны в шестнадцатеричной системе).
Подсказка: 100_b = b². Значит 100₂ = 4, 100₃ = 9, 100₄ = 16, сумма = 29. Границы: 19₁₆ = 25, 26₁₆ = 38, а 25 < 29 < 38.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Контрольный вопрос. Вычисли значение выражения 10₅ + 10₆ + 10₇ и определи промежуток (границы в шестнадцатеричной системе).
Подсказка: 10_b = b. Значит 10₅ = 5, 10₆ = 6, 10₇ = 7, сумма = 18. Границы: 10₁₆ = 16, 13₁₆ = 19, а 16 < 18 < 19.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Контрольный вопрос. Вычисли значение выражения 100₆ + 10₈ и определи промежуток (границы в шестнадцатеричной системе).
Подсказка: 100₆ = 6² = 36, 10₈ = 8, сумма = 44. Границы: 26₁₆ = 38, 40₁₆ = 64, а 38 < 44 < 64. Для проверки: 44 : 16 = 2, остаток 12 → 44 = 2C₁₆.
Онлайн-проверка ответа появится позже
Запомни для этого типа.
— Индекс справа снизу — основание системы: 100₃ читается «100 в троичной».
— Быстрые формулы: 100_b = b², 10_b = b, 11_b = b + 1.
— Считай всё в десятичной, потом сравнивай.
— В 16-ричной A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15; перевод — делением на 16 с остатком.
— Границы удобно один раз перевести в десятичную: 26₁₆ = 38, 40₁₆ = 64.
← Тип 1 · ⌂ К списку типов · Тип 3. Аппаратное обеспечение →
